%Date: Sun, 1 Oct 2000 19:34:46 +0200
%From: Per Christian Hemmer <hemmer@tf.phys.ntnu.no>

%\documentstyle[a4xx,12pt]{article}
\documentclass[a4paper,12pt]{article}

\usepackage{a4wide}

\begin{document}
\pagestyle{headings}

\noindent
{\footnotesize UNIVERSITETET I TRONDHEIM\\
NORGES TEKNISKE H\O GSKOLE\\
INSTITUTT FOR FYSIKK\\

\noindent
Faglig kontakt under eksamen:\\
P. C. Hemmer\\
Tel. 3648}\\

\begin{center}
{\bf EKSAMEN I FAG 74993 IKKE-LINE\AE R DYNAMIKK}\\
Torsdag 9.\ mai 1996\\
kl. 0900-1500\\

\begin{tabbing}
\hspace*{2cm}Tillatte hjelpemidler: \=  Rottmann: Mathematische Formelsammlung\\
\> Barnett and Cronin: Mathematical Formulae\\
\> Godkjent kalkulator  \\
\end{tabbing}

Endel  formler  er gitt i eget vedlegg.
\end{center}

\vspace{1cm}


\noindent
\underline{\bf Oppgave 1}\\

\noindent
{\bf a)}
La $u(x,t)$ tilfredsstille Korteweg-de Vries-likningen i f\o lgende
dimensjonsl\o se form:
\begin{equation}
u_t-6u\;u_x+u_{xxx}=0.
\label{1}
\end{equation}
Bevis at tyngdepunktet
\[   X_T= \frac{\int_{-\infty}^{\infty} x\; u(x,t)\;dx}{\int_{-\infty}^{\infty}
 u(x,t)\;dx}\]
 beveger seg med konstant fart.\\

\noindent
{\bf b)}
Vi vil la $u(x,t)$ fra punkt a) v\ae re potensial og $\lambda$ egenverdi
for eventuelle bundne tilstander i den stasjon\ae re
Schr\"{o}dingerlikningen
\begin{equation}
-\frac{d^2\psi}{dx^2} + u\;\psi = \lambda\;\psi.
\label{2}
\end{equation}
La et startprofil $u(x,0)$ utvikle seg if\o lge KdV-likningen til $u(x,t_1)$
etter tida $t_1$, og la
 oss tenke oss at Schr\"{o}dingerproblemet l\o st  for
begge potensialer $u(x,0)$ og $u(x,t_1)$. Hvorledes sammenlikner l\o sningene
seg?
\\

\noindent
{\bf c)} Potensialet
\begin{equation}
u(x) = - \frac{m(m+1)\alpha^2}{\cosh^2(\alpha x)}
\label{3}
\end{equation}
i Schr\"{o}dingerlikningen har $m$ diskrete egenverdier n\aa r $m$ er et helt positivt
tall, og $[m]+1$ diskrete egenverdier n\aa r $m$ ikke er heltallig.
Her betyr $[m]$
heltallsdelen av $m$. Dersom $m$ er heltallig ($[m]=m$) er potensialet
{\em refleksjonsl\o st}, ellers ikke.  (Disse egenskapene til potensialet (\ref{3})
skal du ikke vise!)

Bruk denne informasjonen til finne formen p\aa\ solit\ae re b\o lger
for KdV-likningen (\ref{1}). [I n\o dsfall kan du finne formen p\aa\
solit\ae re b\o lger p\aa\ annen m\aa te.]\\

\noindent
{\bf d)}
Korteweg-de Vries-likningen kan bl.a. beskrive overflateb\o lger n\aa r
en inkompressibel v\ae ske str\o mmer virvelfritt. Hvilke krav m\aa\ vi sette
til overflateforstyrrelsene for at dette skal v\ae re en god
beskrivelse? (Svar kort.)\\

\noindent
{\bf e)}
En solit\ae r b\o lge forplanter seg i en kanal. Fra et bestemt sted av
blir kanalen grunnere idet dybden reduseres til det halve (se figur).

\vspace{3cm}

Anta at den solit\ae re b\o legen kommer uendret over ujevnheten i bunnen
og starter p\aa\ den grunnere kanalen. Hvorledes venter du at b\o lgeprofilet,
kvalitativt sett, ser ut ved senere tidspunkt? (Bruk at avstander,
b\aa de i horisontal og vertikal retning, skalerer med kanaldybden.
Dette er utdypet i vedlegget.)                                    \\


\noindent
\underline{\bf Oppgave 2}\\

To arter, her kalt kaniner og sauer, konkurrerer om et begrenset beite.
Populasjonene av de to artene ved tida $t$ er  $x(t)$ (kaniner) og
$y(t)$ (sauer). Populasjoner  s\aa\ sm\aa\ at det er nok
mat vokser eksponensielt med ulike vekstrater (st\o rre for kaniner enn
for sauer), men denne veksten vil reduseres for st\o rre populasjoner
p\aa\ grunn av de begrensede  matressurser.

En meget enkel modell som illustrerer dette er f\o lgende ikkeline\ae re
dynamiske system:
\begin{eqnarray}
\frac{dx}{dt} & = & x\; (3-x-2y) \label{4}\\
\frac{dy}{dt} & = & y\; (2-x-y) \label{5}
\end{eqnarray}
(Komplikasjoner som rovdyr, sykdom, \aa rstidsvariasjoner og alternative
ressurser er det sett bort fra.)\\

\noindent
{\bf a)} Finn alle fikspunktene (likevektspunktene) $(x^*,y^*)$ for systemet.\\

\noindent
{\bf b)} Klassifis\'{e}r  fikspunktene med hensyn til stabilitet.\\

\noindent
{\bf c)} N\aa\ skal vi se p\aa\ str\o mningen i faserommet for dette
systemet, som ikke har noen grensesykler. Hvorledes
str\o mmer fasepunktene langs $x$-aksen og langs $y$-aksen? Hva skjer for
store avstander fra origo?    Skiss\'{e}r tilslutt rent kvalitativt
 str\o mningen i faserommet, og vis p\aa\ skissen nedslagsfeltene til
 de stabile fikspunktene.\\[-5mm]

Biologer har formulert et prinsipp om konkurranseutelukkelse, som sier at
to arter som konkurrerer om samme begrensede ressurs ikke kan sameksistere.
Vil du si at resultatene i ovenst\aa ende enkle modell er
i overensstemmelse med dette prinsippet?     \\

\noindent
\underline{\bf Oppgave 3}\\

\noindent
{\bf a)} Definer Lyapunoveksponenten $\lambda$ for en generell
\'{e}ndimensjonal iterasjon $x_{n+1} = F(x_n)$, med gitt $x_1$.
Vis at Lyapunov\-eksponenten
kan uttrykkes som
\[ \lambda = \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n
\ln |F'(x_i)|.\]

\noindent
{\bf b)}
En \'{e}ndimensjonal iterasjon $x_{n+1}=F(x_n)$ er definert ved
\[ F(x) = 1 - 1.9 \;|x|^{\frac{3}{4}},\]
skissert i figuren.

\vspace*{4cm}

\noindent
 Tre ulike baner for denne iterasjonen starter slik:\\
\hspace*{5cm}Bane $a$: $x_1=0$\\
\hspace*{5cm}Bane $b$: $x_1=5$\\
\hspace*{5cm}Bane $c$: $x_1=10$\\

Angi for hver bane den tilh\o rende attraktortype. Begrunn svaret.\\


\noindent
{\bf c)} Angi fortegnet for Lyapunoveksponenten for hver av de tre
banene i punkt b).

Beregn for bane $c$ den numeriske verdi av Lyapunoveksponenten. Det kreves ikke
stor n\o yaktighet.


\newpage
\begin{center}
{\large \bf Vedlegg}\\
\end{center}

\noindent
\underline{\bf Skalering av KdV-likningen for kanalb\o lger}\\

I forelesningene ble det gitt en perturbativ utledning av KdV-likningen
for overflateb\o lger i en kanal med vanndybde $h$. Uttrykt ved de
opprinnelige fysiske st\o rrelsene tilfredsstiller $s(x,t)$ (h\o yde over uforstyrret
vannspeil) likningen
\begin{equation}
\frac{1}{\sqrt{gh}}\frac{\partial s}{\partial t}
+ \frac{\partial s}{\partial x} +  \frac{1}{2h}
s\;\frac{\partial s}{\partial x} + \frac{1}{6}
\frac{\partial^3 s}{\partial x^3} =0.
\end{equation}
Ved \aa\ skalere alle lengder med $h$,  dvs innf\o re
\[ s/h \equiv \widehat{s}\]
\[ x/h \equiv \widehat{x},\]
f\aa r vi
\[\frac{\partial \widehat{s}}{\partial \widehat{t}}
+ \frac{\partial \widehat{s}}{\partial \widehat{x}} +
 \frac{1}{2}
\widehat{s}\;\frac{\partial \widehat{s}}{\partial \widehat{x}} +
  \frac{1}{6}
\frac{\partial^3 \widehat{s}}{\partial \widehat{x}^3} =0,\]
der $t\sqrt{g/h} \equiv \widehat{t}$. Ved en Galileitransformasjon og
ved \aa\ skalere med rent numeriske faktorer kan en f\aa\ KdV-likningen
p\aa\ en  av de mer vanlige formene.  For v\aa rt form\aa l er det
uviktig,  det er skaleringen med kanaldybden som er av betydning her.



\end{document}
