\documentclass[12pt,a4paper]{article}
\setlength{\topmargin}{-18mm}
\setlength{\textheight}{24cm}
\setlength{\textwidth}{15cm}
\pagestyle{empty}
\begin{document}
\hfill Side 1 av 3\\
\vspace*{5mm}

{\small
\noindent
NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET \\
Institutt for fysikk\\[3mm]

\noindent
Faglig kontakt under eksamen:\\[-3mm]

\noindent
Professor Jan Myrheim, \hspace{1mm} tel.\ 73 59 36 53\\
Professor Per Hemmer, \hspace{2.4mm} tel.\ 73 59 36 48\\[2mm]}

\begin{center}
 {\large\bf EKSAMEN I SIF4088 IKKELINE\AE R DYNAMIKK}\\
fredag 1.\ august 2003  \\
kl.\ 09.00 -- 15.00
\end{center}

\vspace{8mm}
\noindent
\begin{tabbing}
Tillatte hjelpemidler: \= Godkjent kalkulator\\
\> Rottmann: {\em Matematisk formelsamling}\\
\> Barnett and Cronin: {\em Mathematical Formulae}\\
\end{tabbing}

\noindent
Sensuren faller 22.\ august 2003.\\

\vspace{1.5cm}


\noindent
\underline{\bf Oppgave 1}\\[-2mm]

\noindent
{\bf a)} Hva er kriteriet for at et fikspunkt $x^*$ for en
iterasjon $x_{n+1}=F(x_n)$ er et {\em stabilt} fikspunkt?
Begrunn svaret.\\[-2mm]

\noindent
{\bf b)} Gitt iterasjonen
\[x_{n+1}=F(x_n), \hspace{1cm} \mbox{med}\hspace{1cm} F(x)=x-\frac{g(x)}{g'(x)},\]
der $g(x)$ er en differensierbar funksjon.

Vis at et fikspunkt $x^*$ for iterasjonen er en l\o sning av $g(x)=0$, og
at fikspunktet er superstabilt.

(Dette er Newtons metode til \aa\ finne en numerisk verdi for et nullpunkt
av funksjonen $g(x)$.)\\[-2mm]

\noindent
{\bf c)} For iterasjonen
\[ x_{n+1} = 1- {\textstyle \frac{7}{4}}x_n^2\]
gir startverdien  $x=\frac{6}{7}$ en iterasjon med periode to. Er denne
periode-to-iterasjonen stabil? Begrunn svaret.

\newpage


\hfill  Side 2 av 3\\
\noindent
\underline{\bf Oppgave 2}\\[-2mm]


I en kommune ved svenskegrensen,  der sauehold er
 er en meget viktig n\ae ringsvei, blir mange
sauer drept av ulv. Saueholderne har derfor f\aa tt tillatelse til \aa\
ansette jegere med fellingstillatelse for ulv. La antall sauer og antall
ulver i kommunen ved
tidspunktet $t$ v\ae re henholdsvis $S(t)$ og $U(t)$. Det forutsettes
at det ansettes et antall jegere  proporsjonalt med antall sauer, slik at antall
ulver som mister livet er proporsjonalt b\aa de med antall sauer og med
ulvetallet.  Antall sauer som blir drept forutsettes ogs\aa\ v\ae re
proporsjonalt med antall sauer og med ulvetallet. Netto reproduksjonstall
(der  det er tatt hensyn til slakting av lam) ved sm\aa\ populasjoner
er $r_S$ og $r_U$ for henholdsvis sau og ulv. Tidsutviklingen er gitt ved

\begin{equation}
\begin{array}{ccc}
{\displaystyle \frac{dS}{dt}} &=& r_SS-a_SS^2-b_SSU\\[2mm]
{\displaystyle \frac{dU}{dt}} &=& r_UU-a_UU^2-b_USU +C.
\end{array}\label{dyn1}
\end{equation}

Her er $r_S$, $r_U$, $a_S$, $b_S$, $a_U$, $b_U$ og $C$ positive konstanter.
Konstantene $a_S$ og $a_U$ beskriver hvordan populasjonsveksten blir hemmet p\aa\
grunn av konkurranse om n\ae ringen mellom medlemmer av egen art, mens konstanten
$C$ gir nettoantallet ulv som pr.\ tidsenhet kommer inn i kommunen fra Sverige.
\\[-2mm]

\noindent
{\bf a)} Kan det dynamiske systemet (\ref{dyn1}) ha et kaotisk
tidsforl\o p?\\[-2mm]

\noindent
{\bf b)} Anta f\o rst at ingen sauer drepes av ulv, dvs $b_S=0$.
 Forklar kvalitativt hvorledes sauetallet da utvikler seg fra et startantall
 $S(0)>0$.\\[-2mm]

\noindent
{\bf c)} Anta s\aa\ at det ikke er jegere, dvs.\ $b_U=0$. Hvorledes vil i s\aa fall
ulveantallet utvikle seg fra et startantall $U(0)>0$?\\[-2mm]

\noindent
{\bf d)} Anta fra n\aa\ av at  $b_S\neq 0$ og $b_U\neq 0$,
og sett for enkelhets skyld $r_S=r_U=r$. Skal\'{e}r populasjonstallene
 og innf\o r ny skalert tidsvariabel $\tau$ slik
at likningene (\ref{dyn1}) tar formen
\begin{equation}
\begin{array}{ccc}
{\displaystyle \frac{ds}{d\tau}} &=& s(1-s-\alpha u)  \\[2mm]
{\displaystyle \frac{du}{d\tau}} &=& u(1-u-\beta s) + c,
\end{array} \label{dyn2}
\end{equation}
der $s$ er proporsjonal med $S$ og $u$ er proporsjonal med $U$.
Hva er de nye konstantene (kontrollparametrene)
$\alpha$, $\beta$ og $c$ uttrykt ved konstantene i (\ref{dyn1})?\\[-2mm]

\noindent
{\bf e)}
Anta for enkelhets skyld $\alpha=1/2$ og $\beta=2$ fra n\aa\ av.
Finn alle fikspunktene for det resulterende dynamiske systemet,
\begin{equation}
\begin{array}{ccc}
{\displaystyle \frac{ds}{d\tau}} &=& s(1-s-{\textstyle \frac{1}{2}}u) \\
{\displaystyle \frac{du}{d\tau}} &=& u(1-u-2 s) +c,
\end{array} \label{dyn3}
\end{equation}

\newpage

\hfill Side 3 av 3\\
\noindent
{\bf f)} Klassifis\'{e}r  fikspunktene som  du har funnet i punkt e
med hensyn til type (sadelpunkt, stabilt/ustabilt knutepunkt, stabil/ustabil
spiral (fokus), eller senter) n\aa r et lite antall ulv kommer
over grensen pr.\ tidsenhet, f.eks.\ $c=0.25$.
Gi en grov kvalitativ skisse av faseportrettet (str\o mningen i den fysisk relevante del
av faserommet) for dette tilfellet. (Ingen grensesykler er tilstede.)
Hva er de dimensjonsl\o se populasjonene $s$ og $u$ ved $t=\infty$?\\[-2mm]



\noindent
{\bf g)} N\aa r et betydelig antall ulv kommer over grensen pr.\ tidsenhet
er $c$ stor. Ta f.eks. $c=3$. Klassifis\'{e}r   fikspunktene som
 du har funnet i punkt e
med hensyn til type (sadelpunkt, stabilt/ustabilt knutepunkt, stabil/ustabil
spiral (fokus), eller senter) i dette tilfellet,
Gi en grov kvalitativ skisse av faseportrettet. (Ingen grensesykler er tilstede.)
Hva er n\aa\ de dimensjonsl\o se populasjonene $s$ og $u$ ved $t=\infty$?\\

\noindent
\underline{\bf Oppgave 3}\\[-2mm]

\noindent
{\bf a)} Hva er en permanent b\o lge, en solit\ae r b\o lge og
et soliton? Skiss\'{e}r ulike typer solitoner,
med \'{e}n-solitonl\o sninger av Korteweg-de Vries-likningen, den kubiske
Schr\"{o}dinger-likningen og sine-Gordon-likningen som eksempler.\\[-2mm]

\noindent
{\bf b)} La $u(x,t)$ tilfredsstille Korteweg-de Vries-likningen i
den dimensjonsl\o se formen
\begin{equation}
u_t-6 u\,u_x+u_{xxx}=0. \label{KdV}
\end{equation}

 Vis at for en lokalisert puls er
\[ C=\int_{\infty}^{-\infty} {\textstyle \frac{1}{2}} u^2\,dx\]
en bevegelseskonstant.\\[-2mm]


\noindent
{\bf c)} Potensialet
\begin{equation} u(x) = -\frac{m(m+1)\alpha^2}{\cosh^2(\alpha x)}\label{u}
\end{equation}
i Schr\"{o}dinger-likningen
\[ -\psi'' + u(x) \psi = \lambda \psi\]
har $m$ diskrete egenverdier $\lambda_n=-n^2\alpha^2$, $n=1,2,\ldots m$.
Anta at b\o lgefunksjonen $u(x,t)$ i Korteweg-de Vries-likningen (\ref{KdV}) ved $t=0$
er lik (\ref{u}), $u(x,0)=u(x)$, og anta $m=10$. Forklar og skisser hvorledes $u(x,t)$ vil se ut
etter en tid. \\[-2mm]

\noindent
Det er oppgitt at
\[ u(x,t) = -\frac{c/2}{\cosh^2\left(\frac{1}{2}\sqrt{c}(x-x_0-ct)\right)}\]
er solit\ae r-b\o lge-l\o sninger av Korteweg-de Vries-likningen (\ref{KdV}).
\\

\end{document}
