\documentclass[12pt,a4paper]{article}
\usepackage{graphicx}
\begin{document}

\begin{center}
{\large \bf Kontinuasjonseksamen 2003 i \\SIF4088 IKKELINE\AE R DYNAMIKK}\\
{\bf L\o sningsforslag}
\end{center}


\noindent
\underline{\bf Oppgave 1}\\[-2mm]

\noindent
{\bf a)} Fikspunktet er stabilt hvis den deriverte i fikspunktet er
mindre enn 1 i tallverdi, $|F'(x^*)|<1$. Bevis:

Fikspunktet er definert ved at $F(x^*)=x^*$. For sm\aa\ avvik fra
fikspunktverdien utvikler vi iterasjonsfunksjonen:
\[ F(x)=F(x^*)+(x-x^*)F'(x^*)+ {\cal O}(x-x^*)^2=x^*+(x-x^*)F'(x^*)+{\cal O}
(x-x^*)^2 .\]
Dvs at til f\o rste orden i avviket er
\[ x_{n+1}-x^* = F(x_n)-x^*= (x_n-x^*)F'(x^*),\]
dvs
\[| x_{n+1}-x^*| = |x_n-x^*|\cdot |F'(x^*)|,\]
slik at n\aa r $|F'(x^*)|<1$ er $|x_{n+1}-x^*|<|x_n-x^*|$,
avviket fra fikspunktet avtar. Alts\aa\ er fikspunktet da stabilt.\\[-2mm]

\noindent
{\bf b)} Fikspunktet er gitt ved $x=F(x)$, som i dette tilfelle gir
$g(x)/g'(x)=0$, dvs $g(x)=0$. Stabilitet, og deriblant superstabilitet,
er bestemt ved st\o rrelsen p\aa\ den deriverte av $F$ i fikspunktet. Her
er
\[ F'(x)= 1 - \frac{g'^2-gg''}{g'^2} = gg''/g'^2 .\]
Da $g=0$ i fikspunktet er $F'(x^*)=0$, som gir superstabilitet.\\[-2mm]

\noindent
{\bf c)} For en periode-to-iterasjon $x_+,x_-,x_+,x_-,\ldots$ er begge
verdier fikspunkt for $F^2(x) = F(F(x))$, og vi kan falle tilbake
p\aa\ stabilitetskravet i punkt a. Vha
\[ \frac{d}{dx} F(F(x)) = F'(F(x))\;F'(x)\mbox{ eller } \frac{d}{dx}F(F(x))|_{x=x_+}=
F'(x_-)F'(x_+),\]
ser vi at stabilitetskravet er
\[ |F'(x_+) F'(x_-)|<1\hspace{8mm} \mbox{ eller }\hspace{8mm} | \left( {\textstyle \frac{7}{2}}\right)^2 x_+x_-|<1.\]

For v\aa rt tilfelle sjekker vi f\o rst at  vi virkelig har periode to:\\[-2mm]

 $F(\frac{6}{7})=
1-\frac{7}{4}\frac{36}{49}= -\frac{2}{7}, \hspace{7mm} \mbox{ og } \hspace{7mm}
 F(-\frac{2}{7})=1-\frac{7}{4}\frac{4}{49} = \frac{6}{7}$.\\[-2mm]

For \aa\ unders\o ke stabilitet beregner vi
\[ F'({\textstyle \frac{6}{7}})\,F'(-{\textstyle \frac{2}{7}})= \frac{49}{4}\cdot \frac{6}{7}\cdot \frac{-2}{7} = - 3.\]
Alts\aa\ er {\em ikke} denne periode-to-iterasjonen stabil.\\

\noindent
\underline{\bf Oppgave 2}\\[-2mm]

\noindent
{\bf a)} Det dynamiske systemet er et autonomt todimensjonalt system, og
i to dimensjoner er attraktorene enten fikspunkter eller grensesykler
(Poincar\'{e}-Bendixson).
Alts\aa\ kan systemet {\em ikke} ha en kaotisk attraktor.\\[-2mm]

\noindent
{\bf b)} For $b_S=0$ er
\[ \frac{dS}{dt} = r_SS-a_SS^2 =a_S \,S\left(\frac{r_S}{a_S}\,-S\right),\]
slik at $\dot{S}>0$ hvis $S<r_S/a_S$ og $\dot{S}<0$ hvis $S>r_S/a_S$.
Alts\aa\ vil i alle fall sauetallet g\aa\ mot fikspunktet,
$S(t)\rightarrow S(\infty)=r_S/a_S$.\\[-2mm]

\noindent
{\bf c)} For $b_U=0$ er
\[ \frac{dU}{dt} = r_UU-a_UU^2+C.\]
Vi ser at det er to fikspunkter. H\o yre side er null for
\[ U_{\pm}=\frac{r_U}{2a_U}\pm\sqrt{\frac{C}{a_U}+\frac{r_U^2}{4a_U^2}},\]
slik at $U_+>0$ og $U_-<0$. Ved \aa\ skrive
\[ \dot{U} = -a_U(U-U_+)(U-U_-)\]
ser vi at $\dot{U}>0$ for $0<U<U_+$ og $\dot{U}<0$ for $U>U_+$. Alts\aa\
vil ulvetallet stabilisere seg p\aa\ verdien
$U(\infty) = U_+$.\\[-2mm]

\noindent
{\bf d)} Vi setter
\[S=\frac{r}{a_S}\;s \hspace{8mm} \mbox{ og }\hspace{8mm} U=\frac{r}{a_U}\;u,\]
Det gir
 \begin{eqnarray}
\frac{1}{r}\;\frac{ds}{dt}&
= &s-s^2-\frac{b_Sr^2}{a_U}\;su \\
\frac{1}{r}\;\frac{du}{dt}&=& u-u^2-\frac{b_Ur^2}{a_S}\;su + \frac{a_UC}{r}.
\end{eqnarray}
Alts\aa\ er
\[ \tau= rt,\hspace{8mm}\alpha=\frac{b_S}{a_U}, \hspace{8mm} \beta =
 \frac{b_U}{a_S},
\hspace{5mm}\mbox{ og }\hspace{5mm} c=\frac{a_UC}{r^2}.\]

\noindent
{\bf e)} Fikspunktene f\aa s ved \aa\ nullstille h\o yresidene:
\begin{eqnarray}
    s(1-s-{\textstyle \frac{1}{2}} u)&=& 0 \label{f1} \\
    u(1-u-2s)+c &=& 0 \label{f2}
    \end{eqnarray}
Likning (\ref{f1}) har to l\o sninger. Ta f\o rst $s=0$. Innsatt i
(\ref{f2}) f\aa s da $u^2-u=c,$ dvs
\[u=u_{\pm}={\textstyle \frac{1}{2}}\pm \sqrt{c+{\textstyle \frac{1}{4}}}.\]

Likning (\ref{f1}) er ogs\aa\ tilfredsstilt for $s=1-\frac{1}{2}u$ som innsatt
i (\ref{f2}) gir
\[ u(1-u-2+u)+c=0 \hspace{8mm}\mbox{dvs} \hspace{8mm} u=c. \]
Det er f\o lgelig tre fikspunkter
\begin{eqnarray}
 F_1 &:& \;s=0, \;\;\;u= {\textstyle \frac{1}{2}}+ \sqrt{c+{\textstyle \frac{1}{4}}}\\
 F_2 &:& \;s=0, \;\;\;u={\textstyle \frac{1}{2}}- \sqrt{c+{\textstyle \frac{1}{4}}}\\
 F_3 &:& \; s=1-{\textstyle \frac{1}{2}} c, \;\;\; u=c
 \end{eqnarray}

\vspace{2mm}

\noindent
{\bf f)} For \aa\ unders\o ke karakteren til fikspunktene for et dynamisk
system $ds/d\tau = f(s,u);\;\;\;du/d\tau = g(s,u)$ beregner
vi egenverdiene til Jacobi-determinanten
\begin{equation} J = \left(\begin{array} {cc}
\frac{\partial f}{\partial s} & \frac{\partial f}{\partial u} \\
\frac{\partial g}{\partial s} & \frac{\partial g}{\partial u} \end{array}
\right) = \left(\begin{array}{cc}
1-2s-{\textstyle \frac{1}{2}} u & -{\textstyle \frac{1}{2}} s \\
-2u & 1-2u-2 s   \end{array}
\right) \label{J}\end{equation}
For fikspunktene $F_1$ og $F_2$ er $s=0, u=u_{\pm}$ og derfor
\[    J=  \left(\begin{array}{cc}
1-{\textstyle \frac{1}{2}} u_{\pm} & 0 \\
-2u_{\pm} & 1-2u_{\pm}   \end{array}
\right),              \]
med egenverdier
\begin{equation} \lambda_1 = 1-
{\textstyle \frac{1}{2}}
u_{\pm}={\textstyle \frac{1}{4}}(3\mp
\sqrt{1+4c}) ;\hspace{1cm} \lambda_2 = 1-2u_{\pm} =\mp \sqrt{1+4c}.\label{lambda}\end{equation}
I begge tilfeller er egenverdiene reelle. For $F_2$ (nedre fortegn) er begge
egenverdier positive, slik at $F_2$ er et \underline{\underline{ustabilt (frast\o tende)
knutepunkt}}. For $F_1$ er $\lambda_2<0$, og for $c=0.25$ er
$\lambda_1=(3-\sqrt{2})/4$ positiv, alts\aa\ er $F_1$ et \underline{\underline{sadelpunkt}}
for denne verdien av $c$.

For det tredje fikspunktet $F_3 = (s=\frac{7}{8}, u=\frac{1}{4})$ for
$c=1/4$, f\aa r vi
\[    J=  \left(\begin{array}{cc}
-\frac{11}{8} & -\frac{3}{8} \\
-\frac{1}{2} & -\frac{5}{4}   \end{array}
\right),              \]
Egenverdilikningen blir
\[ (-\frac{11}{8}-\lambda)(-\frac{5}{4}-\lambda)-\frac{3}{8}\;
\frac{1}{2}=0 \mbox{ eller }
\lambda^2+\frac{21}{8}\lambda +\frac{23}{24}=0.\]
Siden summen av egenverdiene er $-21/8<0$ og produktet $23/24>0$ m\aa\
begge egenverdiene v\ae re negative. Alts\aa\ er $F_3$ et
\underline{\underline{stabilt (tiltrekkende) knutepunkt}} for denne verdien
av $c$.

For store $s$ og $u$ er $\dot{s}<0$ og $\dot{u}<0$. Fasepunktene kan derfor
ikke vandre til uendelig, og m\aa\ n\o dvendigvis ende opp i det ene
tiltrekkende knutepunktet $F_3$, som tilsvarer $s(\infty)=\frac{7}{8}$ og
$u(\infty)=\frac{1}{4}$. I dette tilfelle er det alts\aa\ sameksistens
mellom sau og ulv, ved f\o lgende verdier p\aa\ de dimensjonsl\o se
bestandene: $s(\infty)=\frac{7}{8}=0.875; \;\;u(\infty) = \frac{1}{4}=0.25$.
Skisse av faseportrett:
\begin{center}
\includegraphics[height=8cm,width=8cm]{ulv1.eps}
\end{center}


\noindent
{\bf g)} N\aa r $c=3$ er den generelle analysen som i punkt f. $F_2$ blir
fremdeles et ustabilt knutepunkt. For fikspunktet $F_1$ blir n\aa\ begge
egenverdiene negative, siden
\[ \lambda_1 = (1-\sqrt{13})/4<0\mbox{ og } \lambda_2=-\sqrt{13}/2.\]
Alts\aa\ er n\aa\ $F_1$ et \underline{\underline{stabilt knutepunkt}},
og banekurvene m\aa\ ende her.
Koordinatene til $F_1$ er for denne verdien av $c$ lik
$(s,u) = (0,1+\sqrt{13})/2)=(0,2.30)$. I dette tilfellet blir sauene
fullstendig utryddet, mens ulvebestanden stabiliserer seg p\aa\
$u(\infty)=2.30$, i dimensjonsl\o se variable. Skisse av faseportrett:
\begin{center}
\includegraphics[height=8cm,width=8cm]{ulv2.eps}
\end{center}

\vspace{8mm}

\noindent
\underline{\bf Oppgave 3}\\[-2mm]

\noindent
{\bf a)} En permanent b\o lge er av formen $u(x,t)=u(x-ct)$, med
konstant hastighet $c$; den propagerer med uendret form.

En solit\ae r b\o lge er en {\em lokalisert} permanent b\o lge, slik
at alle endringer av formen skjer over et endelig $x$-intervall.

Solitoner er solit\ae re b\o lger som overlever kollisjoner med
hverandre.\\[-2mm]

Ulike solitontyper: (i) Pulsformede solitoner, som for KdV-likningen,
(ii) envelope-solitoner, som for den kubiske Schr\"{o}dinger-likningen,
(iii) kink-solitoner, med en gradient av pulsform, som for sine-Gordon-likningen,

%Skisse
\newpage

\noindent
{\bf b)}
Vi har
\begin{eqnarray} \frac{d}{dt}C&=&\int_{-\infty}^{\infty} u\,u_t\;dx = \int_{-\infty}^{\infty}
(6u^2u_x-uu_{xxx})dx=\int_{-\infty}^{\infty}
\left(2u^3-uu_{xx}+{\textstyle \frac{1}{2}}u_x^2\right)_x\,dx\nonumber\\
&=& \left[ 2u^3-uu_{xx}+{\textstyle \frac{1}{2}}u_x^2    \right]_{-\infty}^{\infty}=0\nonumber
\end{eqnarray}
for en lokalisert puls der $u$ og $u_x$ forsvinner for $x\rightarrow\pm\infty$. Alts\aa\
er $C$ en bevegelseskonstant.\\[-2mm]

\noindent
{\bf c)}
Egenspektret er invariant i tida, slik at hvert soliton tilsvarer en av egenverdiene
i det opprinnelige potensial $u(x,0)$. Den oppgitte solitonl\o sningen
tilsvarer $m=1$. Med $\alpha=\frac{1}{2}\sqrt{c}$ er egenverdien for et enkelt
soliton $\lambda=
-\alpha^2=-c/4= \mbox{ halve amplituden} $.

For $m=10$ vil startprofilet resultere i 10 solitoner, med hastigheter
lik $c_n= 4 n^2 \alpha^2$ og amplituder etter det ovenst\aa ende lik
det halve, dvs lik $a_n = -2 n^2 \alpha^2$,
for $n=1,2,\ldots, 10$. Siden de st\o rste solitonene propagerer raskest, og
siden solitonhastigheten er proporsjonal med amplituden, vil det resulterende
b\o lgetog
best\aa\ av ti solitoner som danner et triangul\ae rt m\o nster med de h\o yeste
i front.\\

%Skisse




\end{document}
