%Date: Sun, 1 Oct 2000 19:35:26 +0200
%From: Per Christian Hemmer <hemmer@tf.phys.ntnu.no>

%\documentstyle[12pt,a4xx]{article}
\documentclass[12pt,a4paper]{article}

\usepackage{a4wide}

\begin{document}

\begin{center}
{\bf EKSAMEN 9.MAI 1996 I IKKELINE\AE R DYNAMIKK}\\
L\o sningsforslag
\end{center}

\noindent
\underline{\bf Oppgave 1}\\

\noindent
{\bf a)} Likevektspunkter f\aa s ved \aa\ nullstille h\o yresidene i
det dynamiske system:
\begin{eqnarray}
x(3-x-2y)& =& 0 \label{1}\\
y(2-x-y) &=& 0 . \label{2}
\end{eqnarray}
Den f\o rste likningen har et nullpunkt i $x=0$. Med denne verdien blir
(\ref{2}): $y(2-y)=0$, med l\o sninger $y=0$ og $y=2$.

Dersom $x\neq 0$ gir (\ref{1}) $x=3-2y$, som innsatt i (\ref{2}) gir
$y(y-1)$, med l\o sninger $y=0$ og $y=1$. De tilh\o rende $x$-verdier
er $x=3$ og $x=1$.

De fire fikspunktene $F_n= (x^*,y^*)$ er derfor

\[ \begin{array} {ll}
F_1: & (0,0) \\
F_2: & (0,2)\\
F_3: & (3,0)\\
F_4: & (1,1)
\end{array}\]

\noindent
{\bf b)} For \aa\ unders\o ke fikspunktenes stabilitet lineariserer vi
bevegelseslikningene rundt fikspunktene.\\

\noindent
\underline{$F_1$}: N\ae r origo er de lineariserte likningene
\[ \dot{x} =3x  \mbox{ og } \dot{y} = 2y\]
med l\o sning:
\[ x(t) = x(0) e^{3t} \mbox{ og } y(t) = y(0) e^{2t}.\]
Dette viser at origo er et \underline{ustabilt} fikspunkt, et ustabilt fokus.\\

\noindent
\underline{$F_2$}: Med $\widetilde{y} = y-y^*=y-2$ blir de lineariserte
likningene:
\[ \dot{x} = - x \mbox{ og } \dot{\widetilde{y}} = - 2x-2\widetilde{y}.\]
Den f\o rste likningen har l\o sning
\[ x(t)=x(0) e^{-t},\]
og den andre
\[ \widetilde{y}(t)=\widetilde{y}(0)e^{-2t}+2x(0) e^{-t}.\]
Det viser at $x$ og $\widetilde{y}$ g\aa r mot null n\aa r $t$ \o ker;
fikspunktet er \underline{stabilt}.   En trengte ikke v\ae re s\aa\
eksplisitt. Innsetting av $x \propto e^{st}$ og $\widetilde{y} \propto e^{st}$
i likningene gir to homogene line\ae re likninger
\[ \left( \begin{array}{cc}
s+1 & 0 \\
2 & s+2
\end{array} \right) \left( \begin{array}{c}
x\\
\widetilde{y}
\end{array} \right) = 0 \]
Systemdeterminanten lik null gir $s = -1$ eller $s=-2$, begge muligheter
svarer til avvik fra fikspunktet som g\aa r mot null med \o kende $t$, dvs
stabilitet.                                  \\

\noindent
\underline{$F_3$}: Med $\widetilde{x} =x-x^* =x-3$ blir de lineariserte
likningene:
\[ \dot{\widetilde{x}} = -3 \widetilde{x} - 6 y \mbox{ og } \dot{y} = - y.\]
Innsetting av tidsavhengighet $e^{st}$ gir i dette tilfellet
\[ \left( \begin{array}{cc}
s+3 & 6 \\
0 & s+1
\end{array} \right) \left( \begin{array}{c}
\widetilde{x}\\
y
\end{array} \right) = 0 \]
I dette tilfellet forsvinner systemdeterminenten for  $s=-3$ og $s=-1$,
s\aa\ $F_3$ er ogs\aa\ \underline{stabilt}.\\

\noindent
\underline{$F_4$}: Med $\widetilde{x} = x-1$ og $\widetilde{y}=y-1$ blir
de lineariserte likningene
\[ \dot{\widehat{x}} = -\widehat{x} - 2\widehat{y} \mbox{ og }
\dot{\widehat{y}} = -\widehat{x} -\widehat{y}.\]
Med tidsavhengighet $\propto e^{st}$ f\aa s likningssystemet
\[ \left( \begin{array}{cc}
s+1 & 2 \\
1 & s+1
\end{array} \right) \left( \begin{array}{c}
\widetilde{x}\\
\widetilde{y}
\end{array} \right) = 0. \]
I dette tilfellet forsvinner systemdeterminanten for $(s+1)^2=2$, dvs
\[ s = -1 \pm \sqrt{2}.\]
En $s$-verdi er positiv, den andre negativ, s\aa\ fikspunktet er et
sadelpunkt. Et fasepunkt i n\ae rheten str\o mmer alltid bort fra
fikspunktet bortsett fra punkter p\aa\ en kurve $C$ gjennom fikspunktet.\\

\noindent
{\bf c)} For $y(0)=0$ forblir etter likning (2) $y(t)=0$, mens $\dot{x}=x(3-x)$, negativt for
$x>3$ og positivt for $0<x<3$. P\aa\ x-aksen
str\o mmer derfor fasepunktet alltid mot fikspunktet $x^*=3$.

For $x(0)=0$ forblir $x(t)=0$, likning (1), mens $\dot{y}=y(2-y)$. Dette viser
at ogs\aa\
langs den positive $y$-aksen str\o mmer fasepunkter mot fikspunktet, her i $y=2$.

For store $x$ og $y$ vil vi ha $\dot{x}<0$ og $\dot{y}<0$: Fasepunktene
str\o mmer mot mindre verdier.

Hvordan skal vi f\aa\ et sammenhengende faseportrett ut av dette? Alle
fasepunkter vil alts\aa\ havne i fikspunktene $F_2$ eller $F_3$, bortsett
fra dem som ligger ligger p\aa\ kurven $C$; de havner i $F_4$. Kurven $C$
m\aa\ derfor v\ae re grensekurven (separatrisen) mellom nedslagsfeltene
til de stabile fikspunktene $F_2$ og $F_3$, og faseportrettet m\aa\ ha f\o lgende topologi:

\vspace*{6cm}

Siden nesten enhver begynnelsestilstand havner i $F_2$ eller $F_3$ der en
av artene er utd\o dd, m\aa\ en si at modellen er i overensstemmelse
med prinsippet om konkurranseutelukkelse.\\

\noindent
\underline{\bf Oppgave 2}\\

\noindent
{\bf a)} La oss f\o rst vise at
\[ I_n=\int_{-\infty}^{\infty} u^n(x,t)\;dx = C_n= \mbox{ tidsuavhengig,} \]
for $n=1$ og $n=2$.
Det f\o lger enkelt ved \aa\ derivere med hensyn p\aa\ $t$:
\[ \frac{d I_n}{d t} = n\int u^{n-1}u_t \;dx =
n\int u^{n-1}(6uu_x-u_{xxx})\;dx \]
For $n=1$ er dette $ [3u^2-u_{xx}]_{-\infty}^{\infty} = 0$
for en lokalisert puls. For $n=2$ er det
\[ [2u^3- u u_{xx}-{\textstyle \frac{1}{2}} u_x^2]_{-\infty}^{\infty} = 0.\]

 S\aa\ tyngdepunktet:
\[ \frac{d X_T}{d t} = C_1^{-1}\int x u_t\;dx=
C_1^{-1} \int x (6uu_x-u_{xxx})\;dx = C_1^{-1} \int (3u^2-u_{xxx})\;dx = 3C_2/C_1\]
ved en delvis integrasjon. Alts\aa\ er tyngdepunktsfarten konstant.\\

\noindent
{\bf b)} Potensialene $u(x,0)$ og $u(x,t)$ har samme egenverdier.\\

Antall egenverdier i det assosierte Schr\"{o}dingerproblemet er antall
solitoner. En solit\ae r b\o lge er ett soliton, og et b\o lgeprofil som
tilsvarer et refleksjonsl\o st potensial med 1 egenverdi. Potensialet ($m=1$)
\[ u(x) = -\frac{\alpha^2}{\cosh^2[\alpha (x-\mbox{konstant})]}\]
er refleksjonsl\o st og har 1 egenverdi. Konstanten tilsvarer bare
valg av origo p\aa\ $x$-aksen.  Sammenlikning med KdV-solitonet
\[ u = \frac{A}{\cosh^2[\frac{1}{2}\sqrt{c}(x-x_0-ct)]}\]
viser
 at $\alpha = \frac{1}{2} \sqrt{c}$, og




\end{document}